Calcul de bases de Gröbner d'idéaux invariants sous l'action

La résolution de systèmes polynomiaux présentant des symétries est un problème naturel qui apparaît dans plusieurs contextes applicatifs (cryptographie, robotique, biologie, physique, codes correcteurs d'erreurs...) Les algorithmes usuels de calcul de bases de Gröbner détruisent en général ces symétries. Lorsque toutes les équations du système polynomial sont individuellement invariantes sous l'action d'un groupe, plusieurs approches peuvent-être envisagées pour tenir compte de cette action et accélérer le processus de résolution (théorie des invariants, bases de Gröbner SAGBI). Ces approches ont en commun de travailler dans l'algèbre des polynômes invariants sous l'action du groupe. Dans le cas général d'un système polynomial présentant des symétries, le cadre algébrique sous-jacent étant celui d'un idéal globalement invariant sous l'action d'un groupe, ces approches ne peuvent être utilisées. Dans cet exposé, nous nous plaçons dans ce cadre général, avec l'hypothèse que le groupe est abélien et que la caractéristique du corps ne divise pas le cardinal du groupe (cas non-modulaire). Sous ces hypothèses, il est possible de ramener l'étude du système polynomial à celui d'un système globalement invariant sous l'action d'un groupe diagonal munissant l'algèbre des polynômes d'une graduation. Cette structure additionnelle permet d'accélérer les algorithmes de calculs de bases de Gröbner basés sur l'algèbre linéaire (F4, F5,...) ainsi que l'algorithme de changement d'ordre (FGLM) dans le cas où le système présente un nombre fini de solutions. L'analyse de complexité passe par une étude asymptotique de la série de Hilbert associée à l'algèbre des invariants sous un groupe diagonal, et nous verrons qu'avec cette approche, certains problèmes deviennent résolubles en temps polynomial en la taille de l'entrée. D'une manière générale, cette approche permet de résoudre certains problèmes provenant d'applications auparavant inatteignables.