Description
On s'intéresse dans cet exposé au rang de tenseur de la multiplication dans les extensions finies de F_q, qui correspond à la complexité bilinéaire sur F_q de la multiplication dans F_{q^n}.<br/> Dans cette optique, on présentera l'algorithme introduit en 1987 par D.V. et G.V. Chudnovsky qui a permis d'établir la linéarité du rang de tenseur en le degré n de l'extension considérée, et en fournit désormais les meilleures bornes connues dans le cas d'extensions de degré grand relativement au cardinal du corps de base. Cet algorithme repose sur un principe d'évaluation-interpolation "à la Karatsuba", où les évaluations sont faites en des places d'un corps de fonctions algébriques bien choisi. Ainsi, on est amené à étudier des corps de fonctions algébriques ayant un grand nombre de places de petit degré relativement à leur genre, et à établir des conditions suffisantes permettant d'appliquer l'algorithme de type Chudnovsky-Chudnovsky sur un corps de fonctions donné. En particulier, on montrera que l'existence d'un diviseur non-spécial de degré g-1, où g est le genre du corps de fonctions considéré, est cruciale pour obtenir un algorithme de faible complexité. Lorsque le corps de base a au moins 4 éléments, un tel diviseur existe toujours ; cependant le problème persiste dans les cas de F_2 et F_3.v A partir de deux tours de corps de fonctions algébriques définies respectivement sur F_p, pour p= 2 ou 3, qui sont ordinaires, c'est-à-dire dont chacun des étages est de p-rang maximal, on améliore les bornes de complexité bilinéaire connues pour la multiplication dans les extensions de F_2 et F_3. De plus, ce résultat met en évidence que dans le cas particulier de F_2, l'existence de points de 2-torsion dans le groupe de classes de diviseurs de dimension nulle ne constituent pas nécessairement un obstacle à l'existence d'un diviseur non-spécial de degré g-1.
Prochains exposés
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Adelic reduction of module lattices
Orateur : Henry Bambury - DGA-MI et Inria Rennes
We give a strict generalisation of the LLL algorithm over number fields, based on the reduction theory of $GL(n)$ over the adele ring of a number field. Our algorithm is free of heuristics, with rigorous bounds on output quality and complexity. -- based on joint work with Seungki Kim, Changmin Lee and Phong Nguyen ---
Cryptography
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European Cyber Week: atelier cryptographie post-quantique
Dans la continuité des éditions 2021, 2022 et 2024, la DGA — en partenariat avec CREACH LABS et avec le soutien de l'ANSSI, de l'IRISA, de l'IRMAR et du Pôle d'Excellence Cyber — organise la 4e édition de l'atelier consacré à la cryptographie post-quantique dans le cadre de l'European Cyber Week 2026. Attention, il faut s'inscrire (gratuitement) au préalable — s'inscrire à la conférence Les[…] -
Post-quantum day of the cryptography seminar
A scientific day devoted to post-quantum cryptography, held in the wake of the European Cyber Week, with talks more technical than those presented at the ECW.