Description
Soit P(x,y) un polynôme en deux variables à coefficients réels. On suppose que P(x,y) est à valeurs positives sur R^2. Hilbert a montré que le polynôme P(x,y) s'écrit comme somme de quatres carrés dans R(x,y). Une question naturelle est de savoir si P(x,y) est une somme de trois carrés dans R(x,y). Cette question n'a pas de réponse connue en général, mais elle peut être reformulée en termes de jacobiennes. Nous expliquons d'abord comment l'étude des points de torsion R(x)-rationnels de certaines jacobiennes permet d'énoncer des formules pour écrire certains produits de la forme (y^2+a(x)^2)(y^2+b(x))(y^2+c(x))(y^2+d(x)) comme somme de trois carrés dans R(x,y) (une telle écriture n'existe pas toujours). Dans un second temps, nous donnons une famille de polynômes en deux variables P_{i}(x,y) positifs ou nuls sur R^2 de degré 8 qui ne sont pas somme de trois carrés dans R(x,y). Pour cela, nous montrons que le R(x)-rang de Mordell-Weil de la jacobienne de la courbe hyperelliptique d'équation affine z^2+P_{i}(x,y)=0 est nul.
Prochains exposés
-
Verification of Rust Cryptographic Implementations with Aeneas
Orateur : Aymeric Fromherz - Inria
From secure communications to online banking, cryptography is the cornerstone of most modern secure applications. Unfortunately, cryptographic design and implementation is notoriously error-prone, with a long history of design flaws, implementation bugs, and high-profile attacks. To address this issue, several projects proposed the use of formal verification techniques to statically ensure the[…] -
On the average hardness of SIVP for module lattices of fixed rank
Orateur : Radu Toma - Sorbonne Université
In joint work with Koen de Boer, Aurel Page, and Benjamin Wesolowski, we study the hardness of the approximate Shortest Independent Vectors Problem (SIVP) for random module lattices. We use here a natural notion of randomness as defined originally by Siegel through Haar measures. By proving a reduction, we show it is essentially as hard as the problem for arbitrary instances. While this was[…] -
Lightweight (AND, XOR) Implementations of Large-Degree S-boxes
Orateur : Marie Bolzer - LORIA
The problem of finding a minimal circuit to implement a given function is one of the oldest in electronics. In cryptography, the focus is on small functions, especially on S-boxes which are classically the only non-linear functions in iterated block ciphers. In this work, we propose new ad-hoc automatic tools to look for lightweight implementations of non-linear functions on up to 5 variables for[…]-
Cryptography
-
Symmetrical primitive
-
Implementation of cryptographic algorithm
-
-
Endomorphisms via Splittings
Orateur : Min-Yi Shen - No Affiliation
One of the fundamental hardness assumptions underlying isogeny-based cryptography is the problem of finding a non-trivial endomorphism of a given supersingular elliptic curve. In this talk, we show that the problem is related to the problem of finding a splitting of a principally polarised superspecial abelian surface. In particular, we provide formal security reductions and a proof-of-concept[…]-
Cryptography
-