Description
On s'intéresse dans cet exposé au rang de tenseur de la multiplication dans les extensions finies de F_q, qui correspond à la complexité bilinéaire sur F_q de la multiplication dans F_{q^n}.<br/> Dans cette optique, on présentera l'algorithme introduit en 1987 par D.V. et G.V. Chudnovsky qui a permis d'établir la linéarité du rang de tenseur en le degré n de l'extension considérée, et en fournit désormais les meilleures bornes connues dans le cas d'extensions de degré grand relativement au cardinal du corps de base. Cet algorithme repose sur un principe d'évaluation-interpolation "à la Karatsuba", où les évaluations sont faites en des places d'un corps de fonctions algébriques bien choisi. Ainsi, on est amené à étudier des corps de fonctions algébriques ayant un grand nombre de places de petit degré relativement à leur genre, et à établir des conditions suffisantes permettant d'appliquer l'algorithme de type Chudnovsky-Chudnovsky sur un corps de fonctions donné. En particulier, on montrera que l'existence d'un diviseur non-spécial de degré g-1, où g est le genre du corps de fonctions considéré, est cruciale pour obtenir un algorithme de faible complexité. Lorsque le corps de base a au moins 4 éléments, un tel diviseur existe toujours ; cependant le problème persiste dans les cas de F_2 et F_3.v A partir de deux tours de corps de fonctions algébriques définies respectivement sur F_p, pour p= 2 ou 3, qui sont ordinaires, c'est-à-dire dont chacun des étages est de p-rang maximal, on améliore les bornes de complexité bilinéaire connues pour la multiplication dans les extensions de F_2 et F_3. De plus, ce résultat met en évidence que dans le cas particulier de F_2, l'existence de points de 2-torsion dans le groupe de classes de diviseurs de dimension nulle ne constituent pas nécessairement un obstacle à l'existence d'un diviseur non-spécial de degré g-1.
Prochains exposés
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Lie algebras and the security of cryptosystems based on classical varieties in disguise
Orateur : Mingjie Chen - KU Leuven
In 2006, de Graaf et al. proposed a strategy based on Lie algebras for finding a linear transformation in the projective linear group that connects two linearly equivalent projective varieties defined over the rational numbers. Their method succeeds for several families of “classical” varieties, such as Veronese varieties, which are known to have large automorphism groups. In this talk, we[…]-
Cryptography
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Some applications of linear programming to Dilithium
Orateur : Paco AZEVEDO OLIVEIRA - Thales & UVSQ
Dilithium is a signature algorithm, considered post-quantum, and recently standardized under the name ML-DSA by NIST. Due to its security and performance, it is recommended in most use cases. During this presentation, I will outline the main ideas behind two studies, conducted in collaboration with Andersson Calle-Vierra, Benoît Cogliati, and Louis Goubin, which provide a better understanding of[…] -
Wagner’s Algorithm Provably Runs in Subexponential Time for SIS^∞
Orateur : Johanna Loyer - Inria Saclay
At CRYPTO 2015, Kirchner and Fouque claimed that a carefully tuned variant of the Blum-Kalai-Wasserman (BKW) algorithm (JACM 2003) should solve the Learning with Errors problem (LWE) in slightly subexponential time for modulus q = poly(n) and narrow error distribution, when given enough LWE samples. Taking a modular view, one may regard BKW as a combination of Wagner’s algorithm (CRYPTO 2002), run[…]-
Cryptography
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CryptoVerif: a computationally-sound security protocol verifier
Orateur : Bruno Blanchet - Inria
CryptoVerif is a security protocol verifier sound in the computational model of cryptography. It produces proofs by sequences of games, like those done manually by cryptographers. It has an automatic proof strategy and can also be guided by the user. It provides a generic method for specifying security assumptions on many cryptographic primitives, and can prove secrecy, authentication, and[…]-
Cryptography
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Structured-Seed Local Pseudorandom Generators and their Applications
Orateur : Nikolas Melissaris - IRIF
We introduce structured‑seed local pseudorandom generators (SSL-PRGs), pseudorandom generators whose seed is drawn from an efficiently sampleable, structured distribution rather than uniformly. This seemingly modest relaxation turns out to capture many known applications of local PRGs, yet it can be realized from a broader family of hardness assumptions. Our main technical contribution is a[…]-
Cryptography
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