Description
La résolution de systèmes polynomiaux présentant des symétries est un problème naturel qui apparaît dans plusieurs contextes applicatifs (cryptographie, robotique, biologie, physique, codes correcteurs d'erreurs...) Les algorithmes usuels de calcul de bases de Gröbner détruisent en général ces symétries. Lorsque toutes les équations du système polynomial sont individuellement invariantes sous l'action d'un groupe, plusieurs approches peuvent-être envisagées pour tenir compte de cette action et accélérer le processus de résolution (théorie des invariants, bases de Gröbner SAGBI). Ces approches ont en commun de travailler dans l'algèbre des polynômes invariants sous l'action du groupe. Dans le cas général d'un système polynomial présentant des symétries, le cadre algébrique sous-jacent étant celui d'un idéal globalement invariant sous l'action d'un groupe, ces approches ne peuvent être utilisées. Dans cet exposé, nous nous plaçons dans ce cadre général, avec l'hypothèse que le groupe est abélien et que la caractéristique du corps ne divise pas le cardinal du groupe (cas non-modulaire). Sous ces hypothèses, il est possible de ramener l'étude du système polynomial à celui d'un système globalement invariant sous l'action d'un groupe diagonal munissant l'algèbre des polynômes d'une graduation. Cette structure additionnelle permet d'accélérer les algorithmes de calculs de bases de Gröbner basés sur l'algèbre linéaire (F4, F5,...) ainsi que l'algorithme de changement d'ordre (FGLM) dans le cas où le système présente un nombre fini de solutions. L'analyse de complexité passe par une étude asymptotique de la série de Hilbert associée à l'algèbre des invariants sous un groupe diagonal, et nous verrons qu'avec cette approche, certains problèmes deviennent résolubles en temps polynomial en la taille de l'entrée. D'une manière générale, cette approche permet de résoudre certains problèmes provenant d'applications auparavant inatteignables.
Prochains exposés
-
Some applications of linear programming to Dilithium
Orateur : Paco AZEVEDO OLIVEIRA - Thales & UVSQ
Dilithium is a signature algorithm, considered post-quantum, and recently standardized under the name ML-DSA by NIST. Due to its security and performance, it is recommended in most use cases. During this presentation, I will outline the main ideas behind two studies, conducted in collaboration with Andersson Calle-Vierra, Benoît Cogliati, and Louis Goubin, which provide a better understanding of[…] -
Wagner’s Algorithm Provably Runs in Subexponential Time for SIS^∞
Orateur : Johanna Loyer - Inria Saclay
At CRYPTO 2015, Kirchner and Fouque claimed that a carefully tuned variant of the Blum-Kalai-Wasserman (BKW) algorithm (JACM 2003) should solve the Learning with Errors problem (LWE) in slightly subexponential time for modulus q = poly(n) and narrow error distribution, when given enough LWE samples. Taking a modular view, one may regard BKW as a combination of Wagner’s algorithm (CRYPTO 2002), run[…]-
Cryptography
-
-
CryptoVerif: a computationally-sound security protocol verifier
Orateur : Bruno Blanchet - Inria
CryptoVerif is a security protocol verifier sound in the computational model of cryptography. It produces proofs by sequences of games, like those done manually by cryptographers. It has an automatic proof strategy and can also be guided by the user. It provides a generic method for specifying security assumptions on many cryptographic primitives, and can prove secrecy, authentication, and[…]-
Cryptography
-
-
Structured-Seed Local Pseudorandom Generators and their Applications
Orateur : Nikolas Melissaris - IRIF
We introduce structured‑seed local pseudorandom generators (SSL-PRGs), pseudorandom generators whose seed is drawn from an efficiently sampleable, structured distribution rather than uniformly. This seemingly modest relaxation turns out to capture many known applications of local PRGs, yet it can be realized from a broader family of hardness assumptions. Our main technical contribution is a[…]-
Cryptography
-