Description
Le but de cet exposé est de présenter de nouveaux résultats sur les minima et spectres euclidiens des corps de nombres, et ceci d'un point de vue à la fois algorithmique et théorique. Un problème très ancien en théorie des nombres consiste à savoir si un corps de nombres est euclidien, en particulier pour la norme. Lorsqu'on cherche à préciser les choses, on est amené naturellement à définir les concepts respectivement arithmétique et géométrique de minimum euclidien et de minimum inhomogène, ainsi que les concepts de spectre euclidien et de spectre inhomogène. Je présenterai une méthode générale permettant de calculer le minimum euclidien (et inhomogène) d'un corps de nombres, voire la partie supérieure de son spectre euclidien. L'algorithme, implanté pour le moment uniquement dans le cas des corps de nombres totalement réels, a permis d'enrichir de façon décisive les tables existantes du degré 2 au degré 8, et a permis de découvrir de nombreux nouveaux corps de nombres euclidiens, ainsi que de nombreux corps de nombres principaux non euclidiens pour la norme mais euclidiens en deux étapes.<br/> J'aborderai également des questions plus théoriques. Je suis en effet parvenu, à l'aide d'arguments de dynamique topologique, à établir la preuve d'anciennes conjectures essentiellement énoncées par Barnes et Swinnerton-Dyer et concernant le lien entre le spectre euclidien et le spectre inhomogène, sous la seule condition que le groupe des unités du corps considéré soit de rang strictement supérieur à 1. Une conséquence particulière des résultats obtenus est que, sous cette dernière hypothèse, l'euclidianité est décidable et que l'algorithme proposé termine. Une partie des résultats exposés a déjà été publiée au Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, le reste le sera très prochainement dans Mathematics of Computation.
Prochains exposés
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Key Attack on the ACDGV Matrix Encryption Scheme
Orateur : Anmoal Porwal - Technical University of Munich
I will present our key-recovery attack on the ACDGV public-key encryption scheme proposed at ASIACRYPT 2024 by Aragon, Couvreur, Dyseryn, Gaborit, and Vinçotte. The secret key is a Gabidulin code hidden by appending random rows and columns and by left- and right-multiplication with invertible matrices. Our attack exploits the resulting algebraic structure to recover an equivalent secret key. It[…]-
Cryptography
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Asymmetric primitive
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Module Learning With Errors and Structured Extrapolated Dihedral Cosets
Orateur : Jinwei Zheng - Télécom Paris
The Module Learning With Errors (MLWE) problem is the fundamental hardness assumption underlying the key encapsulation and signature schemes ML-KEM and ML-DSA, which have been selected by NIST for post-quantum cryptography standardization. Understanding its quantum hardness is crucial for assessing the security of these standardized schemes. Inspired by the equivalence between LWE and[…]-
Cryptography
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