Questions d'euclidianité dans les corps de nombres

Le but de cet exposé est de présenter de nouveaux résultats sur les minima et spectres euclidiens des corps de nombres, et ceci d'un point de vue à la fois algorithmique et théorique. Un problème très ancien en théorie des nombres consiste à savoir si un corps de nombres est euclidien, en particulier pour la norme. Lorsqu'on cherche à préciser les choses, on est amené naturellement à définir les concepts respectivement arithmétique et géométrique de minimum euclidien et de minimum inhomogène, ainsi que les concepts de spectre euclidien et de spectre inhomogène. Je présenterai une méthode générale permettant de calculer le minimum euclidien (et inhomogène) d'un corps de nombres, voire la partie supérieure de son spectre euclidien. L'algorithme, implanté pour le moment uniquement dans le cas des corps de nombres totalement réels, a permis d'enrichir de façon décisive les tables existantes du degré 2 au degré 8, et a permis de découvrir de nombreux nouveaux corps de nombres euclidiens, ainsi que de nombreux corps de nombres principaux non euclidiens pour la norme mais euclidiens en deux étapes.<br/> J'aborderai également des questions plus théoriques. Je suis en effet parvenu, à l'aide d'arguments de dynamique topologique, à établir la preuve d'anciennes conjectures essentiellement énoncées par Barnes et Swinnerton-Dyer et concernant le lien entre le spectre euclidien et le spectre inhomogène, sous la seule condition que le groupe des unités du corps considéré soit de rang strictement supérieur à 1. Une conséquence particulière des résultats obtenus est que, sous cette dernière hypothèse, l'euclidianité est décidable et que l'algorithme proposé termine. Une partie des résultats exposés a déjà été publiée au Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, le reste le sera très prochainement dans Mathematics of Computation.